Un triplet pythagoricien est un triplet $(a,b,c)$ d'entiers positifs tel que

$a^2 +b^2 =c^2.$

Par exemple $(3,4,5)$.
À tout triplet pythagoricien est associé un triangle de côtés entiers $(a,b,c)$, forcément rectangle d’hypoténuse $c$.
Il y a 3 façons de voir l'équation diophantienne $a^2+b^2=c^2$.

Algébre

Le promière façon est l'algébre. On peut supposer que $(a,b,c)$ sont permiers entre eux, et $a$ est un entier impair. On a

$c^2-a^2=b^2,$

et donc

$\frac{c+a}{b}=\frac{b}{c-a}=\frac{m}{n},$

dont $m$ et $n$ sont entiers positifs et premiers entre eux. Il s'ensuit que

$\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=\frac{m}{n},$

$\frac{c}{b}-\frac{a}{b}=\frac{n}{m}.$

Donc

$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}(\frac{m}{n}+\frac{n}{m})=\frac{m^2+n^2}{2mn},$

$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}(\frac{m}{n}-\frac{n}{m})=\frac{m^2-n^2}{2mn}.$

1. Si $m$ et $n$ sont des entiers pairs, $2|gcd(m,n)$, c'est impossible!
2. Si $m$ et $n$ sont des entiers impairs, $m^2\equiv 1 (mod)4$ et $n^2\equiv 1(mod)4$, et donc $4|m^2-n^2$. Mais $4\nmid 2mn$. Nous avons $2|a$. C'est impossible!

Il s'ensuit que l'un d'eux est un entier impair et l'un d'eux est un entier pair. Donc $2\nmid m^2+n^2$ et $2\nmid m^2-n^2$. Et donc

$c=m^2+n^2, \quad a=m^2-n^2, \quad b=2mn.$

Donc tous les triplets satisfaissant l'équation sont de la forme

$c=l(m^2+n^2), \quad a=l(m^2-n^2), \quad b=2lmn,$

dont l est un entier positif.
Ce qui précède est connu sous le nom de formule Pythagoricien.

Analyse

L'équation $a^2+b^2=c^2$ est équivalente à l'équation

$(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1.$

On a besoin de trouver toutes les racines (x,y) rationnelles de l'équation

$x^2+y^2=1.$

On a déjà une racine $(-1,0)$. Pour une autre racine rationnelle $(x,y)$, le droite definie par $(-1,0)$ et $(x,y)$ a une pente rationnelle. Pour toutes les droites passant par $(-1,0)$, il couple le cercle en un point rationnel si et seulement si sa pente est rationnelle.